在数学和计算机科学领域，研究人员早已明白，有些问题从根本上就无解。如今，物理学家正在探索，即使是普通的物理系统，也会对我们能够预测的内容设置严格的限制，甚至在理论上也是如此。
研究领域：不可判定性、混沌系统、拉普拉斯妖、量子力学、图灵停机问题、能隙问题、自指系统、预测极限
法国学者皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）在1814年提出一个著名的论断：倘若存在一位“全知妖精（demon）”，能够完全掌握宇宙当前的状态，那么基于此可以准确推演出未来，这就是被后人称为物理学上的四大神兽之一的“拉普拉斯妖（Démon de Laplace）”。这一思想实验将物理学家对预测的乐观情绪推向顶峰。然而，现实却不断击碎这种宏伟的雄心。拉普拉斯·皮埃尔·西蒙（Pierre-Simon Laplace），是法国天文学家、分析学家、概率论学家、物理学家。他也是天体力学的主要奠基人、天体演化学的创立者之一，他还是分析概率论的创始人，因此可以说他是应用数学的先驱。他是科学史上一位罕见的全才。
第一次冲击来自20世纪初量子力学的发现。研究表明，当量子粒子未被测量时，它们处于一种不确定状态——没有确定的位置，即便是无所不知的“妖精”也难以掌握其确切信息。第二次冲击出现在20世纪后期，当时物理学家们发现所谓的“混沌系统（chaotic systems）”会放大任何微小的不确定性。“妖精”或许能够预测未来五十年的天气，但前提是必须无限精确地掌握当前的状态——精确到每一只蝴蝶翅膀的每一次振动。这种高度敏感性使得长期精确预测变得极其困难。近年来，物理学界逐渐浮现出第三重局限——从某些方面看，这可能是迄今为止最惊人的发现。物理学家在量子系统和经典系统（如涡旋洋流）中均观测到该现象。科学家将这种现象称为不可判定性（undecidability），超越了混沌理论的范畴。不可判定性表明：即使完全了解系统当前状态，也无法完全预测或掌控系统未来的变化。“即便是让你站在上帝视角，仍无法预判它的轨迹。”伦敦大学学院物理转行计算机的科学家Toby Cubitt[1]说道，他正引领探索不可知领域的前沿。西班牙加泰罗尼亚理工大学数学家Eva Miranda[2]则将不可判定性称为“超越混沌现象（next-level chaotic thing）”。皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）曾提出假说：一个“全知妖精（demon）”能够完美预测任何物理系统的未来。然而，这一假说被证明是错误的。丨图片来源：Johann Ernst Heinsius，维基共享资源
不可判定性意味着某些问题从根本上无法解答，这对物理学家来说较为陌生，但对数学家和计算机科学家而言是常识。一个多世纪前，数学家们通过严格的数学证明指出：有些数学问题永远无解，有些真命题永远无法被证明。如今，物理学家正将这类不可判定的数学体系与越来越多的物理系统建立联系，从而开始绘制出物理学领域中“可知性”的硬边界。“这些例子对人类认知能力施加了根本性限制，并且这些限制是不可逾越的。”圣塔菲研究所（Santa Fe Institute）研究员David Wolpert[3]表示。他长期研究认知边界，但并未参与近期研究。
1990年，物理学界迎来了一个关于“不可知性”的惊人案例。康奈尔大学的研究生Cris Moore[4]设计了一台仅有一个活动部件的不可判定机器（undecidable machine）。他的装置理论上类似于一个高度可定制的弹球机：想象一个底部开口的盒子，玩家可以放置障碍物并将发射器移动到任意位置，然后发射一颗弹球进入盒内。虽然装置看似简单，但随着弹球在盒内反弹，它实际上在进行某种计算。这个设计展示了一个深刻的科学问题：即使在一个看似简单的物理系统中，也可能存在无法解答的问题。这种不可预测性揭示了不可判定性在物理学中的重要性。弹球机装置的灵感来源于，Moore阅读了普利策奖获奖著作《哥德尔、艾舍尔、巴赫》（Gödel, Escher, Bach），对其中自指系统（self-referential systems）的计算理论产生了浓厚兴趣。最令他着迷的，是计算机科学领域的奠基性构想——图灵机（Turing machine）。
《哥德尔、艾舍尔、巴赫》的原著(左，20 周年)和中译本(右)集智俱乐部曾于2018年4月18日邀请侯世达（DouglasRichard Hofstadter）来到北京线下和杭州线下做分享交流：侯世达：机器可以“翻译”但不能真正理解 | AI&Society原著和中译本都登峰造极的科普神作 ——侯世达的《哥德尔、艾舍尔、巴赫：集异璧之大成》深刻的影响了很多集智社区的成员，包括集智俱乐部的创始人，北京师范大学的教授张江，推荐张江教授对《GEB》的解读视频：https://campus.swarma.org/course/51 ，以及张江教授撰写的图灵机的词条和关于《自指》的科普文章：《自指——连接图形与衬底的金带》
在1936年的一项里程碑式工作中，艾伦·图灵通过描述一种通用计算设备的关键特性，定义了计算的边界。这种设备如今被称为图灵机（Turing machine）。丨GL Archive/Alamy Stock 拍摄
数学家艾伦·图灵（Alan Turing）在其1936年发表的里程碑式论文中定义了图灵机（Turing machine）[5]（https://www.cs.virginia.edu/~robins/Turing_Paper_1936.pdf）。它由一个可沿无限长纸带上下移动的读写头组成，根据一组简单规则，逐步读取和写入0和1。一台图灵机遵循一组规则，可以读取两个数字并输出它们的乘积；另一台图灵机遵循不同的规则，可以读取一个数字并输出其平方根。通过这种方式，图灵机可以被设计为执行任何数学和逻辑运算的序列。如今，我们会说图灵机执行的是“算法”（algorithm），而许多物理学家认为，图灵机定义了计算本身的极限，无论是计算机、人类还是“全知妖精”执行的计算。Kristina Armitage/Quanta MagazineMoore在其研究生阶段的研究课题——混沌（chaos）中，发现了图灵机行为的雏形。在混沌系统中，每一个细节都至关重要。用一句著名的比喻来说：将巴西的一只蝴蝶的位置调整一毫米，可能带来是东京遭遇台风，还是田纳西州被龙卷风席卷如此天壤之别的影响。起初微小的舍入误差会逐渐扩大，最终影响整个计算。在混沌系统中，这种增长可以表现为在数字上的位移：十分位的误差（0.1）会向左扩散，最终穿过小数点，变成十位上的误差（10）。Moore设计的弹珠机完美对应了图灵机的结构，弹球的起始位置代表输入图灵机纸带的数据。关键（但不切实际）的是，玩家必须能够以无限精度调整弹球的起始位置，意味着用带有无限长小数位的数字来描述弹珠的位置，只有在这样的数字中，Moore才能编码无限长图灵纸带的数据。随后，障碍物的排列引导弹球移动到新位置，这一过程对应于图灵机纸带上的读写操作。某些弯曲的障碍物将纸带向一个方向移动，使得存储在遥远数位的数据变得更加重要，这一现象让人联想到混沌系统；而反方向弯曲的障碍物则产生相反的效果。弹珠从盒底弹出时，计算终止，最终落点即为运算结果。摩尔为他的弹球机装置赋予了计算机的灵活性，比如设计一种障碍物排列方式可以计算圆周率的前一千位数字，而另一种排列方式则可能计算国际象棋游戏中的最佳下一步。但它也有一个我们很难与计算机联系起来的特性：不可预测性（unpredictability）。某些算法会停止运行并输出结果，而另一些则会无限运行，例如，打印圆周率最后一位数字的程序。图灵提出了一个根本性的追问：是否存在一种通用程序，能判断任意一个程序是会自行终止，还是无限运行？这个问题被称为“图灵停机问题”（halting problem）。图灵通过假设这种程序存在并进行推理，最终证明了这种程序不可能存在。如果一台机器能够预测另一台机器的行为，那么你可以轻松地修改这台预测机器，使得当另一台机器停止时，它无限运行；反之，当另一台机器会无限运行时，它停止。接着，图灵进行了一个精妙的推演：将经过调整的预测机器的描述输入到它自身中：如果这台机器停止运行，它也必须无限运行；如果它无限运行，它也必须停止。这两种情况（停止和无限运行）互相矛盾，无法同时成立。因此，这种预测程序不可能存在。（他的发现与1931年的一项开创性成果密切相关。当时，逻辑学家库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）发明了一种类似的方法，将自指悖论[6]（self-referential paradox）引入严格的数学框架中。哥德尔证明了存在一些数学命题，其真伪永远无法被确定。）简言之，图灵证明了停机问题的不可解性。要判断一个算法是否会停止，唯一的办法就是运行它，持续观察下去。如果它停止了，答案自然明了。但如果它没有停止，你将永远无法确定：它会一直运转下去？还是只是因为你没有等待足够长的时间。“我们知道，存在这样一些初始状态，我们无法提前预测它们的行为，”Wolpert说道。由于Moore设计的弹球机[7]（Moore于1990年在PRL上发表的论文《Unpredictability and undecidability in dynamical systems》）能够模拟任何图灵机，因此它也可能表现出不可预测的行为。弹球的离开标志着计算的终止，因此，任何特定障碍物排列是否会困住弹球或引导其离开盒子的问题，也必然是不可判定的。“事实上，关于这些复杂映射的长期动态的所有问题都是不可判定的，”Moore说道。克里斯·摩尔（Cris Moore）开发了最早且最简单的不可判定的物理系统。丨Cressandra Thibodeaux
Moore的弹球机超越了普通的混沌系统。龙卷风预报员无法准确预测龙卷风的着陆点，原因有二：一是预报员对每只“巴西蝴蝶”的精确位置一无所知，二是计算能力有限。但摩尔的弹球机展现了一种更深层的不可预测形式。即使对这台机器了如指掌且拥有无限计算能力，关于其命运的某些问题仍然无法回答。“这更加戏剧化，即使拥有无限资源，你也无法编写出解决该问题的程序。”马德里康普顿斯大学数学家David Pérez-García[8]表示。此前，其他研究人员已经设计出了一些类似于图灵机（Turing machine）的系统——特别是棋盘格[9]（checkerboard grid），其中的方格会根据相邻方格的颜色不断闪烁开关[10]。然而，这些系统非常抽象且复杂。而Moore则用一个简单的装置构建了一台图灵机，就像在实验室里常见的那种。这一生动的实验表明，即使是一个仅遵循高中物理定律的系统，也可能具有不可预测的本质。“它不可判定这一点有些令人震惊，”Cubitt说道，他在研究生时期被该机器深深吸引，后来还为此开设了专题讲座。“本质上，这不过是单个粒子在盒内反复碰撞而已。”Cubitt获得物理学博士后，转而投身数学与计算机科学领域。然而，他始终无法忘记那台弹球机，以及计算机科学对机器物理规律的限制。他不断思考：不可判定性是否触及了真正的物理问题？经过十年的探索，他终于发现，答案确实是肯定的。
2012年，Cubitt将不可判定性与大型量子系统的研究紧密结合。在奥地利阿尔卑斯山的一次会议上，他与Pérez-García及同事Michael Wolf[11]一起喝着咖啡，讨论一个冷门问题是否可能是不可判定的。当Wolf建议他们暂时搁置该问题，转而解决量子物理学中最大问题之一的可判定性时，他甚至没有料到他们可能会成功。“开始只是一句玩笑，没想到灵感却接二连三地迸发，”Pérez-García回忆道。Wolf提瞄准量子系统的核心属性——能隙（spectral gap），它指的是将系统从最低能量状态激发所需的能量。如果激发需要一定的能量，系统就是“有能隙的”；如果系统可以在任何时刻无需能量注入就被激发，它就是“无能隙的”。能隙决定了霓虹灯发出的颜色、材料在移除所有热量时的行为，以及在不同背景下质子的质量应该是什么。在许多情况下，物理学家可以计算出特定原子或材料的能隙；但在更多其他情况下，他们也无法做到。如果有人能从第一性原理[12]严格证明质子应具有正质量，将获得百万美元的奖金。大卫·佩雷斯-加西亚（David Pérez-García，左）和托比·库比特（Toby Cubitt）设计了一种量子材料，其状态可以捕捉图灵机可能进行的任何计算。丨从左至右：David Pérez-García; Johnny Millar；Johnny Millar拍摄
Cubitt、Wolf、Pérez-García他们设定了非常高远的目标。他们试图证明或证伪一种单一策略——是否存在一种通用算法，能够判定所有物质是否具有能隙，范围从质子到铝箔无所不包。为此，他们借鉴了摩尔研究弹球机的方法：设计出一种虚拟的量子材料，这种材料能够模拟任何图灵机的运作。他们将能隙问题重新包装为停机问题，试图通过这一途径找到答案。经过三年的努力，他们完成了一篇长达144页的复杂数学论文[13]（《Undecidability of the Spectral Gap (full version)）。这篇论文融合了过去五十年数学与物理学的重要成果。论文的核心思想是：利用平面材料的量子粒子来模拟图灵机的纸带，这类平面材料实际上是由原子构成的晶格。由于这是一种量子材料，粒子可以同时处于多个状态的叠加态——即材料的不同构型的量子叠加态。研究者们利用这一特性，记录下计算的每一个阶段。他们在配置叠加态时，使得某一种构型对应图灵机的初始态，另一种构型对应计算的第一步，再一种构型对应第二步，依此类推。最终，他们利用量子计算技术调整了粒子之间的相互作用，使得如果叠加态代表的计算停机，材料就会具有能隙；如果计算无限进行，材料就没有能隙。在2015年发表于《自然》（Nature）的这篇论文《Undecidability of the spectral gap》[14]中，他们证明了能隙问题等价于停机问题——因此是不可判定的。如果有人给你一份关于材料粒子的完整描述，它要么有能隙，要么没有。但从粒子相互作用的方式出发，数学上无法计算出这一特性，即便是使用3000年的量子超算，也无法从粒子作用推导出该属性。2020年，Pérez-García、Cubitt和其他合作者在一维粒子链[15]（而非网格）上重复了这一证明。去年，Cubitt、James Purcell和Zhi Li进一步扩展了这一框架，研制出一种特殊材料。当磁场持续增强时，材料会在不可预测的瞬间发生相变[16]。这项研究激发了其他团队的灵感。2021年，当时在日本学习院大学Naoto Shiraishi和日本国立信息学研究所Keiji Matsumoto合作，构想出了一种同样奇特的材料[17]，在这种材料中，无法预测能量是否会“热化”（thermalize），即均匀分布在整个物质中。这些结果并不意味着我们无法预测特定材料的特定性质。例如，理论家或许能够计算铜的能隙，甚至判断所有金属在特定条件下是否会热化。但这项研究确实证明：不存在一种通用方法适用于所有材料。Naoto Shiraishi说道：“如果你追求通用，就会失败。”
最近，研究人员在量子物理之外的领域也发现了一系列新的可预测性限制。加泰罗尼亚理工大学的Miranda在过去几年中一直在研究液体是否可以作为计算机使用。2014年，数学家陶哲轩（Terence Tao）指出：如果液体可以充当计算机，或许可以通过编程使液体以某种特定的方式波动[18]，从而引发一场无限暴力的海啸。这样的海啸在物理上是不可能的，因为在现实世界中没有任何波浪能够容纳无限的能量。因此，任何发现该算法者都将证明流体理论，即纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），可预测不可能现象。这成为又一项百万美元难题[19]。（Eva Miranda证实：流体的流动复杂到轨迹不可判定。——Jordi Cortada）Miranda与Robert Cardona、Daniel Peralta-Salas、Francisco Presas合作。他们从一种遵循更简单方程的流体开始。他们将图灵机的纸带转换为平面上的一个位置（类似于摩尔弹球箱的底部）。随着图灵机的运行，平面上的这个点会不断跳跃。然后，通过一系列几何变换，他们能够将这个点的跳跃转化为流体在三维空间中流动的平滑电流（尽管这是一个中心卷曲成甜甜圈形状的奇怪流体）。为了在Zoom上演示这一概念，Miranda从电脑后面拿出了一只橡皮鸭来进行演示。“当水中的点（可能是一只鸭子）的轨迹移动时，这与图灵机的纸带以某种方式前进是相同的，”她解释道。而图灵机带来了不可判定性。在这种情况下，计算停机对应于将鸭子带到某个特定区域的电流，而永无止境的计算则对应于鸭子永远避开那个点的电流。因此，该团队在2021年发表的一篇论文[20]中证明：判定鸭子最终命运无法实现。
尽管这些系统具有物理上不合理的特性，使得实验者无法构建它们，但即使作为蓝图，它们也表明计算机及其不可判定问题已深深嵌入物理学的架构中。“没有人知道现实中是否包含这些无限性，但实验肯定没有。”
“我们生活在一个可以构建计算机的宇宙中，”Moore在12月一个阳光明媚的下午，通过Zoom从他位于圣塔菲（Santa Fe）的后院花园中告诉我，“计算无处不在。”然而，即使有人试图构建这些蓝图中描绘的机器，研究人员也指出，不可判定性是物理理论的特性，无法在真实实验中真正存在。只有涉及无限性的理想化系统——无限长的纸带、无限扩展的粒子网格、无限可分的空间来放置弹球和橡皮鸭——才可能真正不可判定。没有人知道现实中是否包含这些无限性，但实验肯定没有。实验室工作台上的每个物体都有有限数量的分子，每个测量的位置都有有限小数位。理论上，穷举所有可能状态，就能完全理解有限系统。人类既然无法触碰无限，部分学者认为不可判定性的实际意义有限。“完美认知不存在，因为你无法触及它，”奥地利维也纳技术大学的退休物理学家Karl Svozil[21]说道。“这些是非常重要且深刻的认知，”Wolpert说道，“但它们最终对人类没有任何实际影响。”然而其他物理学家强调：无限理论是对现实世界的精准近似，且必不可少。气候学家在运行计算机模拟时，将海洋看作连续流体，因为无人能逐个分子分析整个海洋。他们需要借助无限概念，才能理解有限事物。从这个意义上说，部分学者认为无限及其不可判定性，是我们现实世界的固有特征。“声称'不存在无限问题，因为生命终究有限'，本质上是自我中心论。”Moore指出。因此，当物理学家在追求拉普拉斯妖般的预见能力时，必须直面一个新的障碍。理论上，他们或许可以推导出描述宇宙的所有定律，就像他们已经推导出描述弹球机、量子材料和橡皮鸭轨迹的所有定律一样。但他们正在认识到，这些定律并不能保证提供捷径，让理论家能够快进系统的行为并预见其命运的所有方面。宇宙按自身规律运行，随时间持续演变，但其复杂程度令某些未来图景，永远隐于研究者的认知之外。他们只能满足于发现那些无法逾越的边界。“你试图揭示宇宙或数学的运行规律，”Cubitt说，“证明问题本身无解的事实，就是答案。”
1.https://www.dr-qubit.org/qubit.html2.https://web.mat.upc.edu/eva.miranda/nova/3.https://www.santafe.edu/people/profile/david-wolpert4.https://sites.santafe.edu/~moore/5.https://www.cs.virginia.edu/~robins/Turing_Paper_1936.pdf6.https://www.quantamagazine.org/how-godels-proof-works-20200714/7.https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.64.23548.https://www.ucm.es/mathqi/david-perez-garcia9.https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.54.73510.https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/016727898490255011.https://www.math.cit.tum.de/en/math/people/professors/wolf-michael/12.https://www.claymath.org/millennium/yang-mills-the-maths-gap/13.https://arxiv.org/abs/1502.0457314.Cubitt, T., Perez-Garcia, D. & Wolf, M. Undecidability of the spectral gap. Nature 528, 207–211 (2015). https://doi.org/10.1038/nature16059https://www.nature.com/articles/nature1605915.https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.10.03103816.https://arxiv.org/abs/2410.0260017.https://www.nature.com/articles/s41467-021-25053-018.https://www.quantamagazine.org/a-fluid-new-path-in-grand-math-challenge-20140224/19.https://www.claymath.org/millennium/navier-stokes-equation/20.https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.202681811821.http://tph.tuwien.ac.at/~svozil/
